[전자기학 정리] 2.1 Vector Algebra

2단원부터는 전자기학 이론을 공부하기 앞서 전자기학에서 필수적으로 다루게 되는 "벡터"에 대해 공부합니다. 이과 분들이라면 고등학교 때 '기하와 벡터' 과목에 대해 배우면서 벡터에 대해 공부하셨을 것이고, 대학에 들어와서 미적분학, 공업수학 등 전공기초 과목들을 배우면서 이를 다시 정리 및 심화학습 하셨을겁니다. 하지만 많은 대학생 분들께서는 1학년 때 신나게 노느라 전공기초를 많이 등한시 해서 전자기학 때 이 부분을 다시 만나고 당황하시는 경우가 많습니다.(제가 그랬읍니다....ㅠㅠ) 그렇기에 이 부분을 다시 짚고 넘어가야 이후에 배울 전자기학 이론을 더 제대로 이해하실 수 있으니 꼭 벡터에 대해 공부하시는 것을 추천드립니다! 또한, 아래에서 수식으로 되어있는 것들은 정말 기본적인 것들이니 암기해주셔야합니다.

 

2단원은 크게 세가지 파트로 나눌 수 있습니다.

1. Vector Algebra (기본적인 벡터 연산)

2. Three Orthogonal Coordinate Systems (3가지 직교 좌표계)

3. Vector Calculus (벡터 미적분)

이를 파악하시고 공부해나가시면 더 수월하게 공부하실 수 있을겁니다!

 

0. 전자기학에서의 벡터

그렇다면 본격적으로 벡터를 공부하기 앞서 전자기학에서 벡터를 다루는 이유가 무엇일까요? 정답은 1단원을 리뷰할 때도 말씀드렸듯 전자기학에서 배우는 것은 "공간에 따른 신호의 변화"이기 때문입니다. 벡터는 근본적으로 스칼라에서 다루는 크기뿐만 아니라 방향까지 갖는 물리량이기 때문에 공간에 따른 신호의 변화를 표현하기 적합한 것이죠! 우리가 일상생활에서 스마트폰이나 여러 IoT 기기에서 사용하는 통신은 모두 전파(electromagnetic wave)를 이용합니다. 그렇기에 공기 중에서 전파는 어떤 방향으로 진행하는지를 표현해주어야합니다. 때문에 회로이론을 공부할 때는 필요가 없었던 벡터를 전자기학에서는 반드시 공부해야하는 것입니다.

사진: Unsplash 의 ROCCO STOPPOLONI

 

1. 벡터의 덧셈 및 뺄셈

그럼 이제 본격적으로 벡터의 연산에 대해 공부하도록 하겠습니다. 첫번째로 책에서 소개하는 것은 벡터의 덧셈 및 뺄셈입니다. 사실 너무 쉽기 때문에 모두가 다 알 것이라 생각하고 간단하게만 언급하겠습니다. 벡터는 아래와 같이 크기와 방향을 갖는 물리량입니다. 스칼라에서 방향이 더해졌다고 생각하시면 됩니다.

 $$ \vec{A}=\vec{a_{A}}A $$

 

이런 벡터를 더하고 빼는 것은 크게 두가지 방법이 있는데 첫번째는 평행사변형 법칙(parallelogram rule)과 head-to-tail 법칙이 있습니다. 평행사변형 법칙은 아래의 그림처럼 두 벡터의 시작점을 맞추고 평행사변형을 그려 연산하는 방법이고, head-to-tail 법칙은 한 벡터의 끝에 다른 벡터의 끝을 맞춰 연산하는 방법입니다. 이때, 주의할 점은 벡터에서 음수는 크기가 음수인 것이 아닌 방향이 반대방향이라는 것입니다.

평행사변형 법칙 & head-to-tail 법칙

 

2. 벡터의 곱셈

벡터의 곱셈은 크게 두가지가 있습니다. 첫번째는 scalar(dot) product가 있고, 두번째는 vector(cross) product입니다. Scalar(dot) product는 벡터의 내적이라 번역되고 vector(cross) product는 벡터의 외적이라 번역됩니다.

 

- Dot Product (내적)

 

$$ \vec{A}\bullet  \vec{B}=AB\cos{ \theta_{AB} }$$

벡터의 내적의 경우 위의 식과 같이 정의됩니다. 그림으로 그려보면 아래와 같이 그릴 수 있습니다. 내적에서 유념해두어야 하는 것은 결과가 스칼라이고 각은 두 벡터 사이각 중 작은 각(180도를 넘지 않는 각)을 사용합니다.

 

- Cross Product (외적)

 

$$\vec{A}\times\vec{B}=\vec{a_{n}}\left| AB\sin{\theta_{AB}}\right|$$

벡터의 외적의 경우는 위의 식과 같이 정의됩니다. 그림으로 그려보면 아래와 같이 그릴 수 있습니다. 내적과는 달리 외적은 사인임을 확인해주어야 합니다. 또한, 결과는 내적과는 달리 결과가 스칼라가 아닌 벡터로 두 벡터와 모두 수직인 성분을 갖습니다. 이때, 두 벡터와 모두 수직인 성분은 총 두개인데 오른손의 법칙에 따라 결정하면 됩니다. 가령 위의 식에서 보면 A 벡터 - B 벡터 순서로 감싼 후 엄지가 가르키는 방향을 선택해주면 됩니다.

 

- Triple Product (삼중곱)

 

마지막으로는 삼중곱입니다. 사실 이건 위의 식들을 이용해 증명할 수 있지만, 빠른 계산을 위해 암기해두어야합니다.

 

1. scalar triple product

$$\vec{A}\circ(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}\circ(\vec{C}\times\vec{A})=\vec{C}\circ(\vec{A}\times\vec{B})$$

 

2. vector triple product

$$ \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}\circ(\vec{A}\circ\vec{C})-\vec{C}\circ(\vec{A}\circ\vec{B})$$